En
Mathématiques, un
nombre automorphe est un
nombre entier dont le
Carré se termine par un même chiffre ou les mêmes chiffres que celui ou ceux du nombre lui-même. Par exemple, 5
2 = 2
5, 76
2 = 57
76, et 890625
2 = 793212
890625.
Étant donné un nombre automorphe à k chiffres, un nombre automorphe à 2k chiffres peut être obtenu par
n ' ≡ 3 • n 2 - 2 • n 3 (10 2k )
Il existe deux nombres automorphes de k chiffres. L'un d'entre eux vérifie les conditions
n ≡ 0 (2 k ), n ≡ 1 (5 k )
et l'autre vérifie
n ≡ 1 (2 k ), n ≡ 0 (5 k ).
La somme des deux nombres automorphes vaut 10k + 1.
La suite suivante permet de trouver un nombre automorphe à k chiffres, où k ≥ 1000.
12781254001336900860348890843640238757659368219796\\ 26181917833520492704199324875237825867148278905344\\ 89744014261231703569954841949944461060814620725403\\ 65599982715883560350493277955407419618492809520937\\ 53026852390937562839148571612367351970609224242398\\ 77700757495578727155976741345899753769551586271888\\ 79415163075696688163521550488982717043785080284340\\ 84412644126821848514157729916034497017892335796684\\ 99144738956600193254582767800061832985442623282725\\ 75561107331606970158649842222912554857298793371478\\ 66323172405515756102352543994999345608083801190741\\ 53006005605574481870969278509977591805007541642852\\ 77081620113502468060581632761716767652609375280568\\ 44214486193960499834472806721906670417240094234466\\ 19781242669078753594461669850806463613716638404902\\ 92193418819095816595244778618461409128782984384317\\ 03248173428886572737663146519104988029447960814673\\ 76050395719689371467180137561905546299681476426390\\ 39530073191081698029385098900621665095808638110005\\ 57423423230896109004106619977392256259918212890625
Il suffit de prendre les k derniers chiffres. La barre oblique inverse signifie que l'écriture du nombre se poursuit à la ligne suivante. L'autre nombre automorphe est obtenu en soustrayant le nombre de 10k + 1.
Table des nombres automorphes
| n | n 2 |
|---|
| 5 | 25 |
| 25 | 625 |
| 625 | 390625 |
| 90625 | 8212890625 |
| 890625 | 793212890625 |
| 2890625 | 8355712890625 |
| 12890625 | 166168212890625 |
| 212890625 | 45322418212890625 |
| 8212890625 | 67451572418212890625 |
| 18212890625 | 331709384918212890625 |
| 918212890625 | 843114912509918212890625 |
| 9918212890625 | 98370946943759918212890625 |
| 59918212890625 | 3590192236006259918212890625 |
| 259918212890625 | 67557477392256259918212890625 |
| 6259918212890625 | 39186576032079756259918212890625 |
| 56259918212890625 | 3165178397321142256259918212890625 |
| 256259918212890625 | 65669145682477392256259918212890625 |
| 2256259918212890625 | 5090708818534039892256259918212890625 |
| 92256259918212890625 | 8511217494096854352392256259918212890625 |
| 392256259918212890625 | 153864973445024588727392256259918212890625 |
| 7392256259918212890625 | 54645452612300005057477392256259918212890625 |
| 77392256259918212890625 | 5989561329000849809744977392256259918212890625 |
| 977392256259918212890625 | 955295622596853633012869977392256259918212890625 |
| 9977392256259918212890625 | 99548356235275381465044119977392256259918212890625 |
| 19977392256259918212890625 | 399096201360473745722856619977392256259918212890625 |
| 619977392256259918212890625 | 384371966908872375601191606619977392256259918212890625 |
| 6619977392256259918212890625 | 43824100673983991394155879106619977392256259918212890625 |
| 106619977392256259918212890625 | 11367819579125235975036734004106619977392256259918212890625 |
| 4106619977392256259918212890625 | 16864327638717175315320739859004106619977392256259918212890625 |
| 9004106619977392256259918212890625 | 81073936023920699329853843152771109004106619977392256259918212890625 |
| n | n 2 |
|---|
| 6 | 36 |
| 76 | 5776 |
| 376 | 141376 |
| 9376 | 87909376 |
| 109376 | 11963109376 |
| 7109376 | 50543227109376 |
| 87109376 | 7588043387109376 |
| 787109376 | 619541169787109376 |
| 1787109376 | 3193759921787109376 |
| 81787109376 | 6689131260081787109376 |
| 40081787109376 | 1606549657881340081787109376 |
| 740081787109376 | 547721051611007740081787109376 |
| 3740081787109376 | 13988211774267263740081787109376 |
| 43740081787109376 | 1913194754743017343740081787109376 |
| 743740081787109376 | 553149309256696143743740081787109376 |
| 7743740081787109376 | 59965510454276227407743740081787109376 |
| 607743740081787109376 | 369352453608598807478607743740081787109376 |
| 2607743740081787109376 | 6800327413935747244982607743740081787109376 |
| 22607743740081787109376 | 511110077017207231620022607743740081787109376 |
| 80022607743740081787109376 | 6403617750108490103144731780022607743740081787109376 |
| 380022607743740081787109376 | 144417182396352539175410357380022607743740081787109376 |
| 3380022607743740081787109376 | 11424552828858793029898066613380022607743740081787109376 |
| 893380022607743740081787109376 | 798127864794612716138610952755893380022607743740081787109376 |
| 5893380022607743740081787109376 | 34731928090872050116956482046515893380022607743740081787109376 |
| 995893380022607743740081787109376 | 991803624372854204655478894958610995893380022607743740081787109376 |
Généralisation
Soit une base
b, dans le cas précédent la base 10.
Alors il s'agit de déterminer, pour un n donné, les nombres 1 < a < b n , tels que
a 2 ≡ a mod b n
On peut donc dire que les nombres automorphes correspondent aux points fixes de l'application carré, f (x) = x 2 , autre que 0 et 1, dans les puissances de la base.
On peut prouver que pour une base b produit de k > 1 nombres premiers distincts, alors il y a k solutions par le théorème des restes chinois.